Matematik Bölümünden klasik probleme modern yaklaşım

“Matematiğin kendine özgü bir dili var ve bu dili bilmeden onu anlamaya ya da konuşmaya çalışmak çok zor,” ifadeleriyle matematik alanında yürütülen çalışmaları akademi dışına aktarmanın zorluğuna dikkat çeken Prof. Dr. Olcay Coşkun’a TÜBİTAK tarafından desteklenmeye hak kazanan projesini sorduk ve matematiğin dünyasına olabildiğince girmeye çalışarak projesini aktarmaya çalıştık.

Grup teorisi ve grup temsili teorisi bize neler söylüyor?

Coşkun projede neler yapılacağını anlamak için öncelikle bazı kavramların bilinmesi gerektiğine dikkat çekiyor: “İlk olarak grubun ne olduğunu bilmek gerekiyor. Grup aslında çok doğal bir yapı. Çevremize baktığımızda her yerde simetriler görürüz ya da herhangi bir nesneyi elimize aldığımızda onu çevirerek simetrisine bakarız aslında. Simetri bir şeyi incelerken ve anlamaya çalışırken başvurduğumuz ilk şeylerden biri. Matematikteki grupla ilişkisi de matematiksel olan ya da olmayan bir nesnenin simetrilerini çalışmak istiyorsak bu nesneleri bir grup olarak ele almamızdan geliyor. Örneğin bir küpü çevirdiğimizde tam olarak aynı uzayı kaplarsa küpün simetrisine ulaşıyoruz. Bunları fonksiyon olarak da ifade etmek mümkün ve benzer fonksiyonları birbiriyle çarpabiliriz, örneğin küpü iki defa çevirirsek iki tane simetriyi arka arkaya uygulamış oluruz. Kısacası matematikte bu tür yapılara grup deniliyor ve bunun gibi soyut nesneleri çalışan alan da grup teori olarak biliniyor.”

Olcay Coşkun bu tür nesneleri çalışmanın tek yolunun simetrilere bakmak olmadığını ve “grup temsili teorisi”nin (grup representation) kullanılabileceğini söylüyor: “Aslında grup teorisinin tanımı çok klasik bir tanım. Soyut nesneleri çalışmanın başka bir yolu daha var, çünkü zaten bu nesnelerin tamamı simetrik değil. İşte bu noktada grup temsili teorisi soruna tersten yaklaşıyor, yani soyut bir grupla başlayıp bu grubu hangi nesnelerin simetrisi olarak görebileceğimiz sorusunu cevaplamaya çalışıyor. Böylece aynı anda iki şey yapmış oluyor, hem hangi nesnelerin simetrileri olabileceğini gösteriyor ve bize nesneler ve onların ortak özellikleri hakkında bilgi veriyor hem de soyut yapının özellikleri hakkında bilgi veriyor çünkü bu yapının belirli nesneler üzerine simetri olarak etki edebileceğini söylüyor. Bu nedenle grup temsili teorisini çift yönlü çalışan bir teori olarak kabul edebiliriz.”

Kategori teori matematiğe yeni bir yaklaşım

Prof. Dr. Coşkun’un projesinde odaklanacağı kategori teori ise sadece grup teorisine değil matematiğin tamamına yeni bir yaklaşım olarak görülüyor. 1940’lardan itibaren çalışılan ve pek çok bilim dalında uygulamaları olan bu teoriyi Olcay Coşkun şöyle açıklıyor: “Matematiğin temelini oluşturan üç teori var, bunlardan ilk ikisi herkesin daha çok aşina olduğu mantık ve kümeler. Üçüncüsü ve daha yeni olanı ise kategori teori. Bu teorinin diğerlerinden farkı nesneleri tek başına incelemek yerine aralarındaki ilişkileri incelemesi. Örneğin kümeler yaklaşımına göre insanlar kümesi dediğimizde sadece insanları düşünür ve aralarındaki ilişkilere bakmayız. Bu kümedeki bir insanı da sahip olduğu özellikleri açısından ele alırız. Kategori teori ise bir insanı kümedeki diğer insanlarla ilişkileri üzerinden inceliyor ve incelenen insanın tekil özellikler çok önemli olmuyor.”

Olcay Coşkun proje kapsamında yürüttükleri çalışmaları aktarmadan önce birkaç kavramı daha açıklıyor: “Bahsettiğimiz grupların yapı taşları var ve bu yapı taşlarına ‘basit gruplar’ deniyor. Benzer şekilde gruplar bir uzayın üzerine etki ettiğinde ortaya çıkan yapıların da yapı taşları var ve bunlara da ‘basit temsiller’ deniyor. Dolayısıyla basit grupların etki ettiği uzaylara da ‘basit uzaylar’ deniyor. Bu ifadelerdeki basit kelimesi benzer alt objesi olmayan obje anlamına geliyor. Bu tür objeler benzer tüm diğer objelerin yapı taşlarını oluşturur. Bu durum atomların tüm maddelerin yapı taşları olması gibi düşünülebilir.”

Hedef gruptan nesneye geçişlerin tamamını açıklayabilecek bir yöntem geliştirmek

Bu alandaki çok klasik problemlerden birinin kimyacıların elementleri bulmaya çalışması gibi grupların yapı taşlarını bulmak olduğunu paylaşan Coşkun, 1800’lerinde sonunda konuşulmaya başlanan bu problemlerin çoktan çözüldüğünü belirtiyor. Olcay Coşkun ve lisans ve lisansüstü öğrencilerinden oluşan proje ekibinin üzerinde çalışacağı problem ise klasik problemin iki adım soyutlanmış hali gibi görülebilir: “Grubun direkt etkisini düşünmek yerine grubu kullanarak başka bir cebirsel yapı tanımlayıp bu yapının etkilerini çalışıyor ve o etkilerden gruba dönmeyi hedefliyoruz. Bunu yapmamızdaki hedefimiz de aslında bir araç elde etmek. Diğer bir ifadeyle gruptan başlayarak başka bir nesneye geçmek zaten matematikte standart bir işlem ama geçtiğimiz o nesnenin yapıtaşlarını bulmak çoğu zaman zor bir problem.”

“Gruptan başka bir cebirsel yapıya geçiş sonsuz farklı şekilde yapılabilir. Bizim ilgilendiğimiz tür geçişler kategori teori kullanmakta. Amacımız ortaya çıkan cebirlerin etki ettiği basit uzayları sınıflandırmak ve bu sınıflandırmayı kullanarak klasik teorideki sorulara cevap vermek. Sınıflandırma bazı özel durumlar için bilinse de genel bir sınıflandırma bilinmemekte. Bunu yapabilmek için de daha önceki çalışmalarımda elde ettiğim bazı teknikleri daha soyut durumlara genellemeye çalışacağız.”

Prof. Dr. Olcay Coşkun hakkında

2002 yılında Bilkent Üniversitesi Matematik Bölümü’nden mezun olan Olcay Coşkun, aynı üniversiteden yüksek lisans ve doktora derecelerini aldı. Coşkun 2008 yılından itibaren lisans ve lisans üstü seviyelerinde Boğaziçi Üniversitesi’nde ders vermekle birlikte sonlu grupların temsili, Mackey Fonktörleri, Biset Fonktörleri ve eşbenzeti kuramı üzerine araştırmalarını sürdürüyor.

Fotoğraflar: Kenan Özcan